[π] – wann schließt sich der Kreis?   23. Dezember 2008, 23 Uhr

Im alten Testament werden die Bronzeschmiede gepriesen, die ein Taufbecken für König Salomo fertiggestellt haben. Dazu heißt es im Buch der Könige: "Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen." Es war also völlig rund, hatte einen Durchmesser von 10 Ellen und einen Umfang von 30 Ellen. Jetzt ist Abstraktion gefragt: Was bedeutet es, völlig rund zu sein - ein Kreis zu sein. Die Erinnerung an eigene Malversuche zeigt das Problem. Der Kreis schließt sich nicht so einfach. Mit dem Schwung des Künstlers konstruiert man also nicht den ideal runden Kreis. Wir benötigen eine Zusatzüberlegung oder der Handwerker braucht ein Stück Seil, welches er mit dem einen Ende in einem Punkt festmachen und mit dessen anderen Ende er den Kreis abfahren kann.

Schon liegt uns eine mathematische Definition klar und elegant zu Füßen: In einer Ebene gegeben ist ein Mittelpunkt und eine Länge, der Radius. Der Kreis ist dann definiert als die Menge aller Punkte, die von diesem festen Mittelpunkt die gegebene Länge als Abstand hat.

Von dem runden Ding, dem Taufbecken, dem Autoreifen oder dem Tortenteller sind wir zu einem Objekt geistiger Natur gekommen. Wir haben einen Begriff exakt festgelegt, wir wissen jetzt genau worüber geredet wird. Das ist in der Mathematik auch der richtige Ansatz. Es geht nicht darum, sich dem Begriff durch neue Formulierungsversuche zu nähern, den Begriff zu umkreisen -- nein, er ist eindeutig definiert und muss genau so angewandt werden. Diese fehlende Redundanz erzwingt aber auch genaues Mitdenken und exakte Logik.

Zurück zur Praxis: Jetzt können wir in unserem Garten das ideal kreisrunde Beet konstruieren. Schon plagen uns neue Fragen: Wie groß ist diese Fläche oder wie lang muss der Zaun sein, der diese Fläche begrenzt? In der Bibel steht, dass der Kreis mit Durchmesser 10 Ellen einen Umfang von 30 Ellen hat.

Hier kommen wir wieder zur Abstraktion. Es bleibt im Dunkel der Geschichte verborgen, wann Menschen begannen zu erkennen, dass unabhängig von der Größe eines Kreises der Umfang immer ein gewisses Vielfaches des Durchmessers ist. Heute bezeichnen wir dieses Vielfache mit dem kleinen griechischen Buchstaben π. Diese fundamentale Invarianz-Erkenntnis führte zu einer bis jetzt fast 4000 Jahre dauernden Ansammlung von Glanzleistungen menschlichen Geistes mit dem Ziel, diese Kreiszahl π zu approximieren und zu verstehen. Ein Papyrus aus dem alten Ägypten gibt als Näherung 256/81, also ungefähr 3,16049, an. Die nächste zündende Idee hatte Archimedes von Syracus, der über 200 Jahre vor Christi Geburt den Kreis jeweils von innen und außen durch ein regelmäßiges 96-Eck approximierte.

Um das zu veranschaulichen, finden Sie hier 10, 13, 14 bzw. 15 Stühle im Kreis aufgestellt. Denken Sie sich die Stühle jetzt durch Strecken verbunden, dann bildet die Summe dieser Strecken sicher eine gute Näherung für den Umfang des gedachten Kreises. Auch heute noch ist die Berechnung dieser Streckensumme eine mittelschwere Knobelaufgabe, die aber schon Archimedes mit Bravour löste und damit für π eine fulminant gute Näherung erzielte. Der Nachkommaanteil von π liegt demnach zwischen 10/71 und 10/70 und die Zifferndarstellung 3,14 ist gesichert. Mathematiker in China und Persien verbesserten diese Methode weiter. Erwähnenswert ist der Hildesheimer Ludolph von Ceulen, der im 16. Jahrhundert π bis auf 35 Stellen genau berechnet hat. Auch er verwendete die archimedische Methode der Approximation durch Streckenzüge. Um hier in der Sprache der Stühle zu bleiben: Er benutzte 2⁶² Stühle und brauchte dann insgesamt 30 Jahre für die Rechnungen. 2⁶² Stühle: eine Zahl größer als 4 mal 10¹⁸. Es fällt schwer für diese Anzahl eine Veranschaulichung zu finden. Würde man so viele dieser Stühle nebeneinander stellen, wäre die Strecke 200 Lichtjahre lang. In Deutschland wurde π bis in das 19. Jahrhundert hinein auch Ludolph'sche Zahl genannnt.

Im Übrigen ist diese Methode, Kurven durch Strecken zu approximieren, der Grundgedanke der Differential- und Integralrechnung und damit ein fundamentaler Eckpfeiler der Mathematik.

Über Jahrtausende hinweg war der Fortschritt gleichbedeutend mit dem Vermögen, π immer besser zwischen zwei Brüchen, also zwei rationalen Zahlen, einzuschachteln. Es blieb die bohrende Frage: Gelingt es, π selber als rationale Zahl anzugeben? Würden sich also in der Darstellung von π=3,14159 26535 89793 ... irgendwann Ziffernfolgen periodisch wiederholen?

Der Mathematiker Lambert legte 1768 der Berliner Akademie den Beweis der Irrationalität vor und kam damit der Beantwortung der uralten Frage nach der Möglichkeit der Quadratur des Kreises sehr nahe.

Kann man nur mit Zirkel und Lineal zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren? Diese Frage begeistert auch bis auf den heutigen Tag viele Hobby-Mathematiker, vergleichbar mit der Frage der Existenz des Perpetuum mobile in der Physik. In Mathematik-Instituten werden immer wieder solche zum Misserfolg verdammten Lösungsversuche eingereicht.

Denn exakt widerlegt wurde diese Möglichkeit schon 1882 von Ferdinand Lindemann, der die Transzendenz von π bewies, d.h. er konnte zeigen, dass Summen oder Differenzen von Potenzen von π nie null ergeben. Inzwischen wissen wir, dass die meisten Zahlen diese kuriose Eigenschaft aufweisen, obwohl wir Menschen uns eigentlich immer mit den algebraischen Zahlen beschäftigen, die nur Approximationen an diese wunderschöne, unendliche Welt der transzendenten Zahlen darstellen können.

Hier schließt sich für uns der Kreis der Geschichte und der Zahl π. Vieles blieb unerzählt: Die Beziehung zu Kugeln oder das Bestreben aktueller Forschungsprojekte, beliebige Ziffern von π ausrechnen zu können.

Aber auch nach dem Jahr der Mathematik wird darüber weiter zu berichten sein.

(Prof. Jürgen Prestin)

Prof. Jürgen Prestin ist Direktor des Instituts für Mathematik der Universität zu Lübeck