1,2,3 – was zählt?   06. September 2008, 23 Uhr

"Gott hat die natürlichen Zahlen geschaffen - der Rest ist Menschenwerk", sagte Leopold Kronecker, der berühmte Berliner Mathematiker der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in Zusammenhang mit einem Richtungsstreit innerhalb der damaligen Mathematik.

Am Anfang standen also immer 1, 2, 3, dann geht es z.B. weiter mit 2+2, 2+3, 2 * 3. Unsere Vorstellung reicht für die eindimensionale Gerade, die zweidimensionale Ebene und den dreidimensionalen Raum.

"Gott hat die natürlichen Zahlen geschaffen" -- wie können wir Kronecker hier interpretieren? Am Anfang waren die Dinge: Der Mensch lernte verschiedene Mengen von Dingen, z.B. Früchte, Tiere, Mitmenschen, miteinander zu vergleichen, um festzustellen, welche Menge größer ist, d.h. welche Menge mehr Elemente enthält. Heute tun wir dies durch Abzählen und Vergleichen der so gewonnenen Anzahlen. Das setzt aber voraus, dass man zählen kann, d.h., dass man die Zahlen schon kennt. Es geht auch einfacher: Wollen wir wissen, ob sich jetzt genauso viele Männer wie Frauen in dieser Kirche befinden, bilden wir möglichst viele Paare, bestehend aus je einem Mann und je einer Frau, und überprüfen, ob jemand übrig bleibt. Dann sind von dieser Sorte Mensch mehr vorhanden. Morgen werden Sie bestimmt mit dieser Idee wieder testen, ob am Mittagstisch genauso viele Personen sitzen, wie es Teller auf dem Tisch gibt. Alle Mengen, zwischen denen sich eine solche paarweise Zuordnung ohne Rest herstellen lässt, haben die entsprechende Anzahl als gemeinsame Eigenschaft. Dadurch haben wir die so genannten Kardinalzahlen 1,2,3 usw. gewonnen. Nicht immer war die Abstraktion so weit gediehen. Es gab Naturvölker, die für gleiche Zahlen verschiedene Zahlwörter benutzten, wenn sie in Verbindung zu unterschiedlichen Dingen auftraten. "Tauga", das ist eine Zahl in der polynesischen Sprache Mangareva. Sie bedeutet zwei. Oder vier. Oder acht. Je nachdem, ob gerade Zuckerrohr, Brotfrüchte oder Kraken gezählt werden.

Eine zweite große Leistung des menschlichen Geistes bestand im Schaffen von Ordnungen innerhalb einer Menge. Wenn wir alle Menschen hier in diesem Kirchenschiff dem Alter nach sortieren, dann gibt es einen Ältesten, einen Zweitältesten, einen Drittältesten. Im Sport gibt es einen ersten, zweiten und dritten Platz und den undankbaren vierten Platz. Auf diese Weise entstehen die Ordinalzahlen. Kardinalzahlen und Ordinalzahlen haben sich im Zusammenhang miteinander entwickelt und bilden die beiden Sichtweisen auf natürliche Zahlen.

Lassen Sie uns jetzt noch 2500 Jahre zurückschauen nach Unteritalien, wo Pythagoras eine philosophische Schule aufbaute, die, wie man heute sicher mit Fug und Recht neudeutsch sagen würde, "nachhaltig" gewirkt hat. Pythagoräer akzeptierten nur diese natürlichen Zahlen und machten Mathematik dann zur reinen Philosophie, nämlich dem Versuch, die Welt zu erkennen. "Alles ist Zahl" ist ein berühmter Ausspruch, der Pythagoras zugeschrieben wird und der für den Beginn der Quantifizierung von Größen aller Art steht. Schon die Pythagoräer brachten die Mathematik, genauer gesagt die Zahl, sehr eng mit der Musik in Verbindung, da jeder Ton eine bestimmte, mathematisch darstellbare Schwingungsfrequenz hat. Zu diesem Zusammenhang zwischen Zahl und Musik gelangten sie auch durch die Entdeckung, dass die Intervalle innerhalb der Tonleiter als Verhältnisse ganzer Zahlen ausdrückbar sind.

Aber am Beispiel von Arithmetik und Geometrie wurde diese Harmonie schon damals empfindlich gestört durch die Entdeckung, dass nach dem Satz von Pythagoras das Verhältnis von Seite und Diagonale eines Quadrates nicht durch ein Verhältnis natürlicher Zahlen ausdrückbar ist. Heute würden wir dieses Faszinosum nüchtern umschreiben als: Wurzel aus 2 ist irrational. Hat Gott also die natürlichen Zahlen geschaffen, wie Kronecker bemerkt, oder hat sein Zeitgenosse, der Braunschweiger Mathematiker und letzte Gauss-Schüler Richard Dedekind, recht, der schreibt: "Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen."

Anregen kann uns dieser Mathematiker-Streit des 19. Jahrhunderts noch heute und er passt zum Motto des Wissenschaftsjahres 2008: "Mathematik: Alles, was zählt".

(Prof. Jürgen Prestin)

Herr Prof. Jürgen Prestin ist Direktor des Instituts für Mathematik der Universität zu Lübeck